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2024-03-09 20:20:24

质因数_百度百科

百度百科网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心质因数[zhì yīn shù]播报讨论上传视频数学术语收藏查看我的收藏0有用+10本词条由《中国科技信息》杂志社参与编辑并审核，经科普中国·科学百科认证。质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。除了1以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以用指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式 [1]。只有一个质因子的正整数为质数。每个合数都可以写成几个质数（也可称为素数）相乘的形式 [2]，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数；而这个因数一定是一个质数。中文名质因数外文名Prime Factors别名素因数或质因子适用领域数学应用学科数学基本概念指能整除给定正整数的质数目录1例子2相关内容▪基本信息▪计算方法例子播报编辑1没有质因子。5只有1个质因子，5本身。（5是质数）6的质因子是2和3。(6 = 2 × 3)2、4、8、16等只有1个质因子：2。（2是质数，4 =2²，8 = 2³，如此类推）10有2个质因子：2和5。(10 = 2 × 5)相关内容播报编辑基本信息质因数 [3]就是一个数的约数，并且是质数。比如8=2×2×2，2就是8的质因数；12=2×2×3，2和3就是12的质因数。把一个式子以12=2×2×3的形式表示，叫做分解质因数。把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，这也是分解质因数 [4]，如16=2×2×2×2，2就是16的质因数。把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数只针对合数。（分解质因数也称分解素因数）求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的方法是先用一个合数的最小质因数去除这个合数，得出的数若是一个质数，就写成这个合数相乘形式；若是一个合数就继续按原来的方法，直至最后是一个质数。分解质因数的有两种表示方法，除了最常用的“短除分解法”之外，还有一种方法就是“塔形分解法”。分解质因数对解决一些自然数和乘积的问题有很大的帮助，同时又为求最大公约数和最小公倍数做了重要的铺垫。Pollard Rho因数分解1975年，John M. Pollard提出了第二种因数分解的方法，Pollard Rho快速因数分解。该算法时间复杂度为。分解质因数代码：将一个正整数分解质因数。例如：输入90，打印出90=2*3*3*5。程序分析：对n进行分解质因数，应先找到一个最小的质数k，然后按下述步骤完成：(1)如果这个质数恰等于n，则说明分解质因数的过程已经结束，打印出即可。(2)如果n>k，但n能被k整除，则应打印出k的值，并用n除以k的商作为新的正整数n，重复执行第一步。(3)如果n不能被k整除，则用k+1作为k的值，重复执行第一步。计算方法短除法求最大公因数的一种方法，也可用来求最小公倍数。求几个数最大公因数的方法，开始时用观察比较的方法，即：先把每个数的因数找出来，然后再找出公因数，最后在公因数中找出最大公因数。例1、求12与18的最大公因数。12的因数有：1、2、3、4、6、12 。18的因数有：1、2、3、6、9、18。12与18的公因数有：1、2、3、6。12与18的最大公因数是6 [4]。这种方法对求两个以上数的最大公因数，特别是数目较大的数，显然是不方便的。于是又采用了给每个数分别分解质因数的方法。12=2×2×318=2×3×312与18都可以分成几种形式不同的乘积，但分成质因数连乘积就只有以上一种，而且不能再分解了。所分出的质因数无疑都能整除原数，因此这些质因数也都是原数的约数。从分解的结果看，12与18都有公约数2和3，而它们的乘积2×3=6，就是 12与18的最大公约数。采用分解质因数的方法，也是采用短除的形式，只不过是分别短除，然后再找公约数和最大公约数。如果把这两个数合在一起短除，则更容易找出公约数和最大公约数。从短除中不难看出，12与18都有公约数2和3，它们的乘积2×3=6就是12与18的最大公约数。与前边分别分解质因数相比较，可以发现：不仅结果相同，而且短除法竖式左边就是这两个数的公共质因数，而两个数的最大公约数，就是这两个数的公共质因数的连乘积。实际应用中，是把需要计算的两个或多个数放置在一起，进行短除。在计算多个数的最小公倍数时，对其中任意两个数存在的约数都要算出，其它无此约数的数则原样落下。最后把所有约数和最终剩下无法约分的数连乘即得到最小公倍数。只含有1个质因数的数一定是亏数。分解质因数是分析和研究整数性质的重要手段。利用分解质因数法解题，可以为一些数学问题提供新的解法，启迪创造性思维；也可以使一些数学问题变难为易，提高学生分析问题和解决问题的能力。 [5]新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号京公网安备110000020000

什么是质因数，质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数_素因子判断整除-CSDN博客

什么是质因数，质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数

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已于 2022-08-08 15:54:14 修改

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于 2022-07-28 17:21:12 首次发布

本文链接：https://blog.csdn.net/Hodors/article/details/126038749

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什么是质因数，质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数

质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。

除了1以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为互质。

因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。

正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以用指数表示。

根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。请在这里输入引用内容每个合数都可以写成几个质数（也可称为素数）相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数；而这个因数一定是一个质数。

1没有质因子。5只有1个质因子，5本身。（5是质数。）6的质因子是2和3。(6 = 2 × 3)2、4、8、16等只有1个质因子：2（2是质数，4 = 2，8 = 2，如此类推。）10有2个质因子：2和5。(10 = 2 × 5)

把一个式子以12=2×2×3的形式表示，叫做分解质因数。16=2×2×2×2,2就是16的质因数，把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，这也是分解质因数。

判定一个数，是不是质数？

def isPrim(n):

if n <= 1: return False

i = 2

while i*i < n:

if n%i == 0: return False

return True

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什么是质因数，质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数

每个合数都可以写成几个质数（也可称为素数）相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数；16=2×2×2×2,2就是16的质因数，把一个合数写成几个质数相乘的形式表示，这也是分解质因数。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以用指数表示。什么是质因数，质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。只有一个质因子的正整数为质数。......

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这个程序使用了质因子分解的思想，从最小的质数2开始，依次检查N是否能被2整除，然后检查是否能被3、5、7等依次递增的奇数整除，直到N变为1。在整个过程中，始终维护一个变量。质因子是指能整除给定正整数的质数。而最大质因子是指一个整数的所有质因子最大的那个。比如30的质因子有2、3、5，所以最大质因子就是5。质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。，记录最大的质因子。最后输出这个最大质因子。一个整数N（2≤N≤10000）。

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质因子是指能整除给定正整数的质数。而最大质因子是指一个整数的所有质因子中最大的那个。

比如30的质因子有2，3， 5，所以最大质因子就是5。

提示：质数是指在大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。

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不知道是否存在奇完全数，也不知道是否存在无穷多个完全数。

第一个完全数是 6，因为 1、2 和 3 是其固有的正约数，而 1 + 2 + 3 = 6。等效地，数 6 等于其所有正约数之和的一半：（ 1 + 2 + 3 + 6 ) / 2 = 6. 下一个完全数是 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14。接下来是完全数 496 和 8128。

这些定义了基于正整数的正整数的三个分类。令 P(n) 为 n 的真因数之和，其中 n 的真因数除 n 本身外，都是 n 的正因数。

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分解质因数_百度百科

数_百度百科网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心分解质因数播报讨论上传视频数学算法收藏查看我的收藏0有用+10每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，其中每个质数都是这个合数的因数，把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数，也叫做分解质因子。如30=2×3×5 。分解质因数只针对合数。中文名分解质因数外文名Prime factor decomposition, Prime factorization释义求质因数的过程又称分解质因子目录1定义2定理3编程分解定义播报编辑把一个合数分解成若干个质因数的乘积的形式，即求质因数的过程叫做分解质因数。分解质因数只针对合数。（分解质因数也称分解素因数）求一个数分解质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式叫短除法，和除法的性质相似，还可以用来求多个数的公因式。定理播报编辑不存在最大质数的证明：（使用反证法）假设存在最大的质数为N，则所有的质数序列为：N1，N2，N3……N设M=（N1×N2×N3×N4×……N）+1，可以证明M不能被任何质数整除，得出M也是一个质数。而≥N，与假设矛盾，故可证明不存在最大的质数。第二种因数分解的方法：1975年，John M. Pollard提出。该算法时间复杂度为O( )。详见参考资料。编程分解播报编辑C#static void Main(string[] args)

{

Practice3();

}

private static void Practice3()

{

List a = new List(); //用于存放质因数

Console.WriteLine("请输入一个整数：");

int n = Convert.ToInt32(Console.ReadLine());

int o = n; //用于存放输入的整数

for (int x = 2; x <= n; x++)

{

if (n % x == 0)

{

n /= x;

a.Add(x);

x--; //为了防止该整数有多个相同质因数最终只能输出一个的情况

}

Console.WriteLine("{0}={1}", o, string.Join("*", a.ToArray()));

}另一种实现#include

Integer m,b,c := 0,j := 0;

Integer a[10]; //存放质因数

Integer fjzys(Integer k)

begin

Integer i := 2;

while (k> := i) do //判断k是否合格

begin

if (k mod i=0) then //判断k是否整除当前因数

begin

a[j] := i; //存入因数

k/ := i; //余数

i := 2; //令i重新等于2

j++; //计数值

end

else

begin

i++; //不能整除则当前因数为非质因数

end;

(* C2PAS: Exit *) Result := 0;

end;

(* 用for实现上面的函数

int fjzys(int k)

{

int i=2;

for ( ; i<=k ; i++ ) //当因数i<=k时，实现该循环，每次循环因数i自加1

for ( ; k%i==0 ; j++ ) //当k整除当前因数，实现该循环，每次循环下标j自加1

{

k/=i; //使k=k/i

a[j]=i; //存入因数

}

return 0;

}

解决上面的函数，无法输出，多个相同的质因数，如90=2*3*3*5，只能输出一个3.

void main()

begin

printf('请输入一个整数'#10'k=');

scanf('%d', (* C2PAS: RefOrBit? *)&m);

fjzys(m);

for(b := 0;b<(j-1);b++) //*比质因数少一个

begin

printf('%d',a[b]);

printf('*');

end;

printf('%d'#10'',a[j-1]); //输出最后一个质因数

end;pascal//Pascal实现方法于2018.1.28更改，此前版本亲测错误

//Pascal实现方法于2018.4.7再次更改，将可处理数字的范围扩大了

{

注意，此程序在处理过大的数字时速度不佳，在各大OJ上估计都会TLE几个测试数据

}

Var

n : Int64 ;

i : Longint ;

Begin

readln( n ) ;

if n<>1

then write( n , '=' )

else write( n , '=1' );

i := 2 ;

while n<>1 do

Begin

if ( n mod i )=0

then Begin

n := n div i ;

write( i );

if n<>1

then write( '*' );

i := 2 ;

End

else inc( i ) ;

End;

writeln;

End.

//By Cubeneo（和之前的Rh。是同一个人）Javaimport java.util.Scanner;

public class H6 {

public static void main(String[] args) {

System.out.println("输入所求正整数:");

Scanner sc = new Scanner(System.in);

Long n = sc.nextLong();

long m=n;

int flag = 0;

String[] str = new String[50];

for (long i = 2; i <= n; i++) {

if (n % i == 0) {

str[flag] = Long.toString(i);

flag++;

n = n / i;

i--;

}

if (flag < 2)

System.out.println(m + "为质数");

else {

System.out.print(m + "=" + str[0]);

for (int k = 1; k < flag; k++) {

System.out.print("*" + str[k]);

}

System.out.println("\n"+m+"共有"+flag+"个质因数.");

}

sc.close();

}

此方法最多可分解包含50个质数的合数. @author寒鸦LMCVisual BasicDimx,a,b,kAsString

PrivateSubCommand1_Click()

a=Val(Text1.Text)

x=2

Ifa<=1Ora>Int(a)Then

Ifa=1Then

Text2.Text="它既不是质数，也不是合数"

Else

MsgBox"请您先输入数据",vbOKOnly+vbInformation,"友情提示"

EndIf

Else

DoWhilea/2=Int(a/2）Anda>=4

Ifb=0Then

Text2.Text=Text2.Text&"2"

b=1

Else

Text2.Text=Text2.Text&"*2"

EndIf

a=a/2

k=a

Loop

DoWhilea>1

Forx=3ToSqr(a)Step2

DoWhilea/x=Int(a/x)Anda>=x*x

Ifb=0Then

Text2.Text=Text2.Text&x

b=1

Else

Text2.Text=Text2.Text&"*"&x

EndIf

a=a/x

Loop

k=a

a=1

Loop

Ifb=1Then

Text2.Text=Text2.Text&"*"&kv

Else

Text2.Text="这是一个质数"

EndIf

EndSub

PrivateSubCommand2_Click()

Text1.Text=""

Text2.Text=""

EndSubc语言实现一此代码因为用了long long int，为C99标准，故不可在VC6.0上运行。#include

#include

int main()

{

int i, b;

long long int in;

/*采用64位整型，以便输入更大的数*/

freopen("F://1.txt", "r", stdin);

freopen("F://2.txt", "w", stdout);

while (scanf("%lld", &in) != EOF)

{

/*在F://1.txt中输入x个数N（N>=2）以换行符或空格符隔开，当没有输入时循环会自动结束*/

b = 0;/*用于标记是否是第一个质因数，第一个质因数在输出时前面不需要加空格*/

for (i = 2; in != 1; i++)

{

if (in%i == 0)

{

in /= i;

b ? printf("%d", i) : printf("%d", i), b = 1;

i--;

/*i--和i++使得i的值不变，即能把N含有的所有的当前质因数除尽，例如：24会一直把2除尽再去除3*/

}

printf("\n");

}

return 0;

}实现二可直接在VC6.0运行。#include

int m, b, c = 0, j = 0;

int a[10]; //存放质因数

int fjzys(int k)

{

int i = 2;

while (k >= i) //判断k是否合格

{

if (k%i == 0) //判断k是否整除当前因数

{

a[j] = i; //存入因数

k /= i; //余数

i = 2; //令i重新等于2

j++; //计数值

}

else

{

i++; //不能整除则当前因数为非质因数

}

return 0;

}

/* 用for实现上面的函数

int fjzys(int k)

{

int i=2;

for ( ; i<=k ; i++ ) //当因数i<=k时，实现该循环，每次循环因数i自加1

for ( ; k%i==0 ; j++ ) //当k整除当前因数，实现该循环，每次循环下标j自加1

{

k/=i; //使k=k/i

a[j]=i; //存入因数

}

return 0;

}

解决上面的函数，无法输出，多个相同的质因数，如90=2*3*3*5，只能输出一个3.

int main()

{

printf("请输入一个整数\nk=");

scanf("%d", &m);

fjzys(m);

for (b = 0; b < (j - 1); b++) //*比质因数少一个

{

printf("%d", a[b]);

printf("*");

}

printf("%d\n", a[j - 1]); //输出最后一个质因数

return 0;

}C++#include

using namespace std;

int main()

{

int n,n2;

cout<<"请输入需要分解的质因数:" ;

cin>>n;

cout<

n2=n;

if(n<2){

return 0;//n小于2返回自身

}

cout<<"1*"; //输出 1*

for(int i=2;i*i<=n2;i++)//for循环穷举质因数

{

while(n2%i==0)//while循环判断质因数

{

n2=n2/i;//获得质因数

cout<

if (n2!=1)//判断质因数

cout<<"*";//输出乘号

}

if(n2!=1){//判断质因数

cout<

}

return 0;//返回

}

//法2：

#include

using namespace std;

int main()

{

int n;

cin>>n;

int m=n;

int flag=0;

cout<

for(int i=2;i*i<=n;i++)

{

if(n%i==0)

{

int cnt=0;

while(n%i==0)

{

n=n/i;

cnt++;

}

if(flag==1) printf("*");

if(cnt==1)

{

printf("%d",i);

}

else

{

printf("%d^%d",i,cnt);

}

flag=1;

}

if(n>1)

{

if(flag==1)printf("*");

printf("%d",n);

}

return 0;

}Common Lispdefun is-prime-number number(let (num number))(do ((index 21+ index)))((≥ index num) t)(if (= 0 mod num index))(return-from is-prime-number nil)(defun decomposition-quality-factor number)(let ((num number) (prime-list make-array 10 :fill-pointer 0 :adjustable t)))(if is-prime-number num)progn(format t "~a~%" num)(return-from decomposition-quality-factor nil)(do ((index 2 1+ index)))((≥ index num) nil)(if is-prime-number index)(push index prime-list)(dolist value prime-list)(let (test-flag nil))(do )(test-flag nil)(if (= 0 mod num value))progn(format t "~a~%" value)(setf num (/ num value))(if is-prime-number num)progn(format t "~a~%" num)(return-from decomposition-quality-factor nil)(setf test-flag t)Python 2.x#!/usr/bin/python

# -*- coding:utf-8 -*-

num = int(raw_input("请输入要分解的正整数："))

temp = []

while num!=1:

for i in range(2,num+1):

if num%i == 0:

temp.append(i)

num /= i

break

print tempPython 3.x#MillerRabin素数判定,结合Pollard_rho递归分解,效率极高

import random

from collections import Counter

def gcd(a, b):

if a == 0:

return b

if a < 0:

return gcd(-a, b)

while b > 0:

c = a % b

a, b = b, c

return a

def mod_mul(a, b, n):

result = 0

while b > 0:

if (b & 1) > 0:

result = (result + a) % n

a = (a + a) % n

b = (b >> 1)

return result

def mod_exp(a, b, n):

result = 1

while b > 0:

if (b & 1) > 0:

result = mod_mul(result, a, n)

a = mod_mul(a, a, n)

b = (b >> 1)

return result

def MillerRabinPrimeCheck(n):

if n in {2, 3, 5, 7, 11}:

return True

elif (n == 1 or n % 2 == 0 or n % 3 == 0 or n % 5 == 0 or n % 7 == 0 or n % 11 == 0):

return False

k, u = 0, n - 1

while not (u & 1) > 0:

k += 1

u = (u >> 1)

random.seed(0)

s = 5

for i in range(s):

x = random.randint(2, n - 1)

if x % n == 0:

continue

x = mod_exp(x, u, n)

pre = x

for j in range(k):

x = mod_mul(x, x, n)

if (x == 1 and pre != 1 and pre != n - 1):

return False

pre = x

if x != 1:

return False

return True

def Pollard_rho(x, c):

(i, k) = (1, 2)

x0 = random.randint(0, x)

y = x0

while 1:

i += 1

x0 = (mod_mul(x0, x0, x) + c) % x

d = gcd(y - x0, x)

if d != 1 and d != x:

return d

if y == x0:

return x

if i == k:

y = x0

k += k

def PrimeFactorsListGenerator(n):

result = []

if n <= 1:

return None

if MillerRabinPrimeCheck(n):

return [n]

p = n

while p >= n:

p = Pollard_rho(p, random.randint(1, n - 1))

result.extend(PrimeFactorsListGenerator(p))

result.extend(PrimeFactorsListGenerator(n // p))

return result

def PrimeFactorsListCleaner(n):

return Counter(PrimeFactorsListGenerator(n))

PrimeFactorsListCleaner(1254000000)Bash Shell#!/usr/bin/bash

read input

factor "$input"批处理@echo off

color 1e

:start

cls

title 分解质因数程序

set /p num=请输入待分解的数

set num0=%num%

if %num% EQU 1 cls&echo 1既不是素数也不是非素数，不能分解&pause >nul&goto start

if %num% EQU 2 cls&echo 2是素数，不能分解&pause >nul&goto start

if %num% EQU 3 cls&echo 3是素数，不能分解&pause >nul&goto start

set numx=:loop_1

if %num% EQU 1 goto result

set count=3

set /a mod=%num%%%2

echo %mod%

if %mod% EQU 0 ( set numx=%numx%×2&& set /a num=num/2 && goto loop_1 )

:loop_2

set /a mod=%num%%%%count%

if %mod% EQU 0 ( set numx=%numx%×%count%&& set /a num=num/count )

if %num% EQU 1 goto result

if %count% EQU %num% set numx=%numx%×%count%&&goto result

cls

set /a stop=%count%*%count%

if %stop% GTR %num% set numx=%numx%×%num%&& goto result

set /a count+=2

echo 正在计算......

echo %num0%=%numx:~2%

set /a wc=stop*100/num

echo 正在计算%num%的因数

echo 已完成计算%wc%%%

if %mod% EQU 0 goto loop_1

goto loop_2

:result

cls

set numx=%numx:~1%

if %num0% EQU %numx% echo %num0%是素数，不能分解！&pause >nul&goto start

echo %num0%=%numx%

pause >nul

goto startjavascriptsfunction prime(maxValue) {

var minPrime = 2;

var primes = [minPrime];

for (var i = 3; i <= maxValue; i++) {

var isPrime = true;

for (var p = 0; p < primes.length; p++) {

if (i % primes[p] == 0) {

isPrime = false;

break;

}

if (isPrime) {

primes.push(i);

}

} return primes;

}

function decomposition(v) {

var results = [];

var primes = prime(v);

var tmp = v;

for (var i = 0; i < primes.length; i++) {

if (tmp == primes[i]) {

results.push(primes[i]);

break;

}

while (tmp % primes[i] == 0) {

tmp /= primes[i];

results.push(primes[i]);

}

if (results.length == 1) {

results = [];

results.push(1);

results.push(v);

}

return results;

数论——质数：分解质因数 - 知乎

数论——质数：分解质因数 - 知乎首发于算法切换模式写文章登录/注册数论——质数：分解质因数川上流觞成功的路并不拥挤，因为能坚持到最后的人不多！分解质因数：暴力 O(n)思路：从小到大枚举 n 的所有因数，并把它除干净。枚举到的因数就是质因数。思路就跟定义差不多，但是如何从小到大枚举 n 的所有质因数是一个问题。那么我们可以先从小到大枚举 n 的所有因数。例如：private static void divide(int n){

//遍历从 2 到 n 的所有数

for(int i = 2; i <= n; i++){

//如果 i 是 n 的因数

if(n % i == 0){

int k = 0;

// 除尽

while(n % i == 0){

n /= i;

k++;

}

} 重点问题那么上面就有可能有一个问题了，我们是从小到大枚举的所有的因数，但是一个数 n 里面的因数可能有质数也可能有合数，因此怎么确保 i 不是合数呢？在证明这个问题之前，需要有一些前置知识：什么是质因数，以及算术基本定理。质因数：质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数（因数）的质数。可以理解为一个数的因数中如果是质数，那么就说这个数是这个数的质因数。算术基本定理：算术基本定理可表述为：任何一个大于1的自然数 N,如果N不为质数，那么N可以唯一分解成有限个质数的乘积算术基本定理证明：在有了上面的两个基本前置知识，那么可以推出下面四个结论结论一首先根据算术基本定理可以知道，一个合数可以由多个比他小的质数相乘而得，而这些质数就是他的质因数。并且，例如一个数 x是 n 的因数，并且是合数，那么问一个问题。是否存在一个质数是 x 的质因数，而不是 n 的质因数？答案是不可能的哈证明：很明显因为 n/x = k，那么 x 的质因数组成 x 的时候只要再乘以 k 就可以得到 n，因此可以得出一个结论：n 的因数的质因数，肯定也是 n 的质因数。结论二那么能不能得到一个结论就是，n 的任何一个因数 x假如他是合数，那么他绝对可以由 n 的小于x的质因数所相乘而得答案是可以的哈证明：根据上面的结论推导一下就可以了。n 的因数如果是合数，那么他绝对可以由比他小的质因数组合而成，同时这些质因数是 n 的质因数，那么不就可以得到上面问题的结论。结论三因此最后我们又可以得到一条结论：一个数的因数，如果排序的话，最开始的因数肯定是质因数，后面才有合数。可不可以这么推论呢？可以的。证明：还是根据第一条理论。假如n 的因数除了 1 之外第一个因数是合数，那么他绝对可以由一些质因数组合而成，那么这些数是比他小的，且是 n 的质因数，因此，这些数也是 n 的因数，并且是质数。结论四数 x 是数 n 的因数，且是合数，那么 n 的质因数不一定是 x 的质因数，而 x 的质因数一定是 n 的质因数。因此当将 n 的所有比x 小的质因数都除尽的时候，因此当 i 为 x 的时候自然是无法进行整除的。因此现在可以证明，从小到大遍历数 n 的因数，并且每次都除尽的话，那么只会遍历到数 n 的质因数，而不会是合数最后可以得出，每次if(n%i==0) 成立的时候 i 一定是 n 的质因数。分解质因数：优化 O(sqrt(n))来想一个问题根据算术基本定理可以知道一个合数可以有多个质因数相乘而得，那么就可以得出一个结论：大于根号 n 的质因数只有一个，反证法：如果两个大于 n 的质因数相乘就会超过 n因此就可以将遍历的范围缩小到根号 n，最后只要特判一下 n 是否大于 1 就可以了，如果是大于那么剩下的 n 就是最后一个大于根号 n 的质因数，最后的代码模板为：private static void divide(int n){

for(int i = 2; i <= n/i; i++){

if(n % i == 0){

int k = 0;

while(n % i == 0){

n /= i;

k++;

}

System.out.println(i + " " + k);

}

if(n > 1) System.out.println(n + " " + 1);

}ps: 模板来自 Acwing编辑于 2021-09-29 14:04数学算法赞同 218 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录算法算法模板

分解质因数 - 知乎

分解质因数 - 知乎首发于文叔说奥切换模式写文章登录/注册分解质因数文三十教师大家好，我是文叔，咱们又见面了！今天带给大家的题目是：180的约数有多少个？首先，请允许我普及一下约数的概念。约数：如果一个自然数A能被自然数B整除，那么称B是A的约数。知道了约数的概念后，题目就可以重新表述为：180可以被多少个自然数整除？我现在开始数：有1，2，3，4，5，6，9，10，12，......停停停！！！妈呀，好像很多的样子嘛，得一直数到180吗？那也太麻烦了吧。怎么办，怎么办？？？化繁为简！化繁为简是一种非常重要的数学方法，比如在这儿，我们可以把题目改为：18的约数有多少个？这样，题目是不是就变得简单多了。然后通过对这个简单题目的研究，去挖掘其中的一般性结论，最后再推广到数180。这样不就完美了，哈哈~ 好的，说干就干，18的约数有：1，2，3，6，9，18.共6个约数，这会有什么结论呢？老实说，我也看不出！不过，对于数学老师来说，聊到约数一般都会联系“分解质因数”。那啥叫“分解质因数”呢？我再普及一下：把合数表示为质因数乘积的形式叫做“分解质因数”。那啥又叫“质数”呢？只能被1和本身这两个不同的自然数整数的自然数叫质数，例如：2，3，5，7，11，...... 现在，我们将18进行分解，具体如下：能从上述式子中找到约数的个数6吗？我相信你肯定会问我：是质因数2 × 3 = 6，对吗？哈哈，刚好凑巧罢了，事实上并不对。那会是什么呢？？？细心的你肯定是注意到了，我在质因数2和3的右上角分别标上了它们各自的次数1和2。这会儿你肯定要笑话我了，质因数2 × 3 = 6不去相信，次数1和2又怎么能变成6呢？事实上的结论是：（1 + 1）×（2 + 1）= 6个。即某一自然数的约数个数是它各质因数的次数分别加1相乘的积！！！那么，根据上述结论，我们将180进行分解，具体如下：则180的约数有：（2 + 1）×（2 + 1）×（1 + 1）= 18个。到这里，你也许还会想，不是真的吧。那么，我将180的约数逐一枚举出来，请大家自行检验：1，2，3，4，5，6，9，10，12，15，18，20，30，36，45，60，90，180.共18个。如果，还是不太确信的朋友，可以自行再找几个数再练练看，或许有例外也说不定哦，呵呵~好了，今天的分享就到这里，各位晚安！过往精华：1.鸡兔同笼问题2.方程需要拆解23.和倍问题4.找规律（华为面试题）5.差倍问题发布于 2019-11-01 22:52小学数学小学奥数赞同 508 条评论分享喜欢收藏申请转载文章被以下专栏收录文叔说奥文叔说奥，说点你听得懂的

质因数 - 知乎

质因数 - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答切换模式登录/注册质因数质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。除了1以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分…查看全部内容关注话题管理分享百科讨论精华视频等待回答简介质因数（素因数或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。除了1以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。每个合数都可以写成几个质数（也可称为素数）相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的因数，那么就说这个质数是这个数的质因数。而这个因数一定是一个质数。更多信息中文名质因数外文名PrimeFactors别称素因数或质因子应用学科数学适用领域范围数字分解数据由搜狗百科提供查看百科全文浏览量5.5 万讨论量77 帮助中心知乎隐私保护指引申请开通机构号联系我们举报中心涉未成年举报网络谣言举报涉企虚假举报更多关于知乎下载知乎知乎招聘知乎指南知乎协议更多京 ICP 证 110745 号 · 京 ICP 备 13052560 号 - 1 · 京公网安备 11010802020088 号 · 京网文[2022]2674-081 号 · 药品医疗器械网络信息服务备案（京）网药械信息备字（2022）第00334号 · 广播电视节目制作经营许可证:（京）字第06591号 · 服务热线：400-919-0001 · Investor Relations · © 2024 知乎北京智者天下科技有限公司版权所有 · 违法和不良信息举报：010-82716601 · 举报邮箱：jubao@zhihu.

质因数 - 搜狗百科

- 搜狗百科质因数(或称质因子)在数论里是指能整除给定正整数的质数。根据算术基本定理，不考虑排列顺序的情况下，每个正整数都能够以唯一的方式表示成它的质因数的乘积。两个没有共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数(包括1本身)都是互质。只有一个质因子的正整数为质数。将一个正整数表示成质因数乘积的过程和得到的表示结果叫做质因数分解。显示质因数分解结果时，如果其中某个质因数出现了不止一次，可以用幂次的形式表示。例如360的质因数分解是：其中的质因数2、3、5在360的质因数分解中的幂次分别是3，2，1。数论中的不少函数与正整数的质因子有关，比如取值为n的质因数个数的函数和取值为n的质因数之和的函数。它们都是加性函数，但并非完全加性函数。网页微信知乎图片视频医疗汉语问问百科更多»登录帮助首页任务任务中心公益百科积分商城个人中心质因数编辑词条添加义项同义词收藏分享分享到QQ空间新浪微博质因数（或称质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。根据算术基本定理，不考虑排列顺序的情况下，每个正整数都能够以唯一的方式表示成它的质因数的乘积。两个没有共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。只有一个质因子的正整数为质数。将一个正整数表示成质因数乘积的过程和得到的表示结果叫做质因数分解。显示质因数分解结果时，如果其中某个质因数出现了不止一次，可以用幂次的形式表示。例如360的质因数分解是：其中的质因数2、3、5在360的质因数分解中的幂次分别是3，2，1。数论中的不少函数与正整数的质因子有关，比如取值为n的质因数个数的函数和取值为n的质因数之和的函数。它们都是加性函数，但并非完全加性函数。免责声明搜狗百科词条内容由用户共同创建和维护，不代表搜狗百科立场。如果您需要医学、法律、投资理财等专业领域的建议，我们强烈建议您独自对内容的可信性进行评估，并咨询相关专业人士。词条信息词条浏览：215589次最近更新：24.01.17编辑次数：22次创建者：ぺ灬Ｆｕｎミ突出贡献者：新手指引了解百科编辑规范用户体系商城兑换问题解答关于审核关于编辑关于创建常见问题意见反馈及投诉举报与质疑举报非法用户未通过申诉反馈侵权信息对外合作邮件合作任务领取官方微博微信公众号搜索词条编辑词条收藏查看我的收藏分享分享到QQ空间新浪微博投诉登录企业推广免责声明用户协议隐私政策编辑帮助意见反馈及投诉© SOGOU.COM 京ICP备11001839号-1 京公网安备110000020000

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结果:

分解质因数：

质因数（或质因子）在数论里是指能整除给定正整数的质数。两个没有共同质因子的正整数称为互质。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的因数分解可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以指数表示。根据算术基本定理，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。只有一个质因子的正整数为质数。

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